Tautologia

A tautologia é uma proposição lógica que é sempre verdadeira, independentemente das circunstâncias ou do valor de verdade de suas componentes.

Ou seja, ela é uma tautologia é uma expressão lógica que é verdadeira por definição, devido à sua estrutura lógica, e não depende dos fatos do mundo real. 

É importante que você tenha em mente as seguintes características da tautologia:

Verdadeira em qualquer situação: Uma tautologia é verdadeira em todas as interpretações possíveis das proposições envolvidas. Mesmo que as proposições individuais sejam verdadeiras ou falsas, a tautologia como um todo será sempre verdadeira.

Estrutura Lógica: A verdade de uma tautologia é determinada pela sua estrutura lógica e pelas regras da lógica proposicional. As tautologias são construídas de tal forma que sua verdade é garantida independentemente do conteúdo específico das proposições.

Utilidade na Lógica e na Matemática: As tautologias desempenham um papel importante na lógica pois elas são usadas para estabelecer teoremas, validar argumentos e demonstrar relações lógicas.

Símbolos de Tautologia: Às vezes, o símbolo ⊢ é usado para representar que uma proposição é uma tautologia. Por exemplo, "P ∨ ¬P ⊢ Q" significa que a proposição "P ∨ ¬P" é uma tautologia e, portanto, implica que "Q" é verdadeira.

Contraste contradição: Enquanto uma tautologia é sempre verdadeira, uma contradição é sempre falsa. Uma contradição é uma proposição que é sempre falsa, não importa o valor de verdade de seus componentes.

Para ficar ainda mais claro, veja só este exemplo de tautologia:

"Se o Sol está brilhando, então o Sol está brilhando". Isso é verdadeiro por definição. 

Contradição

Como descrito anteriormente, a contradição é uma proposição lógica que é sempre falsa, independentemente das circunstâncias ou do valor de verdade de suas componentes.

Em outras palavras, uma contradição é uma afirmação que é logicamente impossível ser verdadeira. Ela é o oposto de uma tautologia, que é sempre verdadeira.

Exemplo: "A blusa rosa de Kelly não é uma blusa rosa."

Implicação

A implicação é uma relação entre duas proposições em que a verdade da primeira implica necessariamente a verdade da segunda.

É frequentemente representada pelo símbolo "→" e é usada para expressar condições ou relações lógicas do tipo "se... então...".

A implicação "P → Q" é falsa apenas quando "P" é verdadeira e "Q" é falsa; em todos os outros casos, é verdadeira.

Exemplo: "Se houver prova amanhã (P), então eu não vou sair hoje para que eu possa estudar (Q)."

Equivalência

A equivalência se trata de uma relação entre duas proposições em que elas têm o mesmo valor de verdade, ou seja, ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.

Normalmente a equivalência é representada pelo símbolo "↔" e é usada para expressar a igualdade lógica entre duas proposições.

A equivalência "P ↔ Q" é verdadeira apenas quando "P" e "Q" têm o mesmo valor de verdade.

Exemplo: "Um morango está maduro (P) se e somente se ele for vermelho (Q)."

Negação de proposições compostas

A negação de proposições compostas envolve a aplicação do operador lógico "NÃO"  ou NOT a uma proposição composta para determinar a proposição contrária.

Ou seja, a proposição que é verdadeira quando a proposição original é falsa e vice-versa. A negação é uma operação lógica fundamental e é frequentemente representada pelo símbolo "¬" ou "~".

Se a proposição original é representada como "P", então a negação da proposição é denotada como "¬P" ou "~P".

A negação de uma proposição composta "P" é verdadeira (V) quando "P" é falsa (F), e é falsa (F) quando "P" é verdadeira (V).

Para ser mais simples na explicação, basicamente a negação inverte o valor de verdade da proposição original. 

Assim, quando a proposição original for verdadeira, sua negação será falsa, e se a proposição original for falsa, sua negação será verdadeira.

Vamos a alguns exemplos:

P: "O dia está chuvoso."

Negação: ¬P: "O dia não está chuvoso."

Q: "O número é ímpar."

Negação: ¬Q: "O número não é ímpar" ou "O número é par."

Proposição Composta Original: R: "Eu gosto de melancia e Hellen gosta de uva."

Negação da Proposição Composta: ¬R: "Não é verdade que eu gosto de melancia e Hellen gosta de uva." 

Esta negação pode ser reescrita como "Eu não gosto de melancia ou Hellen não gosta de uva."

A negação de proposições compostas é importante na lógica matemática e é usada para avaliar a validade de argumentos, simplificar expressões lógicas e resolver problemas de lógica proposicional.